Question

如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC中点.求证:AB1//平面DBC1

如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC中点.求证:AB1//平面DBC1无图，不过不能画 我描述一下 就是画个三棱柱 然后上边为A1B1C1 下边为ABC 连接AB1 快！

Answer 1

补全平行六面体ABEC－AB1E1C1，取B1E1的中点为D1。
∵ABEC－AB1E1C1是平行六面体，∴AB＝C1E1、AC＝E1D1、∠BAD＝∠C1E1D1。
∵D、D1分别是AC、B1E1的中点，∴AD＝AC/2、E1D1＝B1E1/2，而AC＝E1D1，
∴AD＝E1D1。
由AB＝C1E1、∠BAD＝∠C1E1D1、AD＝E1D1，得：△ABD≌△C1E1D1，∴BD＝C1D1。

∵ABEC－AB1E1C1是平行六面体，∴BB1＝C1C、∠BB1D1＝∠C1CD。
∵AD＝AC/2、E1D1＝B1E1/2，而AC＝E1D1，∴B1D1＝CD。
由BB1＝C1C、∠BB1D1＝∠C1CD、B1D1＝CD，得：△BB1D1≌△C1CD，∴BD1＝C1D。

∵BD＝C1D1、BD1＝C1D，∴BDC1D1是平行四边形，∵B、D、C1、D1共面。
∵ABEC－AB1E1C1是平行六面体，∴AD∥B1D1。
∵AD＝AC/2、E1D1＝B1E1/2，而AC＝E1D1，∴AD＝B1D1。
由AD∥B1D1、AD＝B1D1，得：ADD1B1是平行四边形，∴AB1∥DD1，∴AB1∥平面DBC1。

Answer 2

连接B1C,设B1C交BC1于点F,连接DF
因为ABC—A1B1C1是正三棱柱,所以B1BCC1是长方形,所以点F是B1C的中点
所以DF是三角形ACB1的一条中位线,所以DF平行于AB1,,而DF在平面DBC1内,
所以AB1平行平面DBC1