Question

在三角形ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2(a-b)(sinA+sinB)

在三角形ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2(a-b)(sinA+sinB)=sinC(b+2c)+csinB，求sinB+sinC的取值范围

Answer 1

2(a-b)(sinA+sinB)=sinC(b+2c)+csinB
2(a-b)(a+b)=c(b+2c)+bc
a2=b2+c2+bc,由余弦定理得
a2=b2+c2-2bc•cosA，故 cosA=-1/2，∴A=120°．
sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=√3/2cosB+1/2sinB=sin（B+60°）．
因为 0°＜B＜60°，所以，60°＜B+60°＜120，∴√3/2＜sin（B+60°）≤1
故 sinB+sinC的取值范围是 （√3/2,1]

Answer 2

(√3/2，1]

利用正弦定理：2(a-b)(a+b)/2R=(2*c^2+2*b*c)/2R
化简得：b^2+c^2-a^2=-b*c
根据余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/2*b*c
所以：cosA = -1/2
所以：角A=120°
又：sinB+sinC=2*sin((B+C)/2) * cos((B-C)/2)
=2*sin30° * cos((B-C)/2)
=cos((B-C)/2)
又 -30°＜(B-C)/2＜30°
所以：√3/2＜cos((B-C)/2)≤1