Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD+BC=CD (1）以CD为直径作圆O，求证:AB于圆O相切；

(2)以AB为直径作圆O′，求证:CD于圆O′相切

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴过O作OE⊥AB于E，∵∠A=∠B=90°，∴AD∥OE∥BC，
∵O为CD的中点，∴E为AB的中点，
OE=1/2(AD+BC)=1/2CD=半径，
∴AB与⊙O相切。
⑵连接DO'交CB延长线于F，
∵AD∥BC，∴∠O'AD=∠O'BF，∠O'DA=∠O'FB，又OA=OB，
∴ΔO'AD≌ΔO'BF，∴O'D=O'B'，AD=BF，
∴CD=AD+BC=BF，
∴CO'⊥DF，∠O'CD=∠O'CB，
过O'作O'G⊥CD，则O'G=O'B，
∴CD为⊙O'的切线。
欢迎追问。

Answer 2

证明:
方法①
过AB的中点O作OE⊥CD于E. S梯形ABCD=21(AD+BC) •AB=(AD+BC) •OA =2(21AD•OA+21BC•OB) =2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD ∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD ∴21AD•OA+21BC•OA=21CD·OE ∴21(AD+BC) ·OA=21CD·OE又AD+BC=CD ∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上又OE⊥CD ∴CD是⊙O的切线 即CD与⊙O相切

方法② 在CD上取中点F连接OF有梯形中位线可知OF=21(AD+BC)= 21CD ∴O点在以CD为直径的⊙F上 ∴∠1=∠3,∠2=∠4又OF∥AD∥BC ∴∠5=∠3,∠6=∠4 ∴∠1=∠5, ∠2=∠6 在CD上取点E且DE=DA则CE=CB ∴⊿OAD≌⊿OED, ⊿OBC≌⊿OEC ∴∠A=∠OED=90°, ∠B=∠OEC=90° ∴OE⊥CD,且OE的长为⊙O的半径∴以AB为直径的⊙O与CD相切于E。由CD为直径的⊙F与AB相切于O则OD⊥OC. ∴CD=)(10862222cmOCOD