Question

求极限x趋近于0，lim(1/x^2-(cotx)^2)=?用罗比达法则怎么解啊？

Answer 1

先通分为(x^2-(tanx)^2)/(x^2*(tanx)^2)，分母的tanx等价于x，分子因式分解，则原极限=lim (x+tanx)(x-tanx)/x^4=lim (1+tanx/x)(x-tanx)/x^3=2×lim (x-tanx)/x^3。接下来再使用洛必达法则及等价无穷小，得原极限=2×lim [1-(secx)^2]/(3x^2)=2×lim [-(tanx)^2]/(3x^2)=2×lim [-x^2]/(3x^2)=-2/3

追问

lim (1+tanx/x)(x-tanx)/x^3=2×lim (x-tanx)/x^是为什么？

追答

先把(1+tanx/x)计算出来

追问

也是先把tanx等价于x是吗？

追答

这儿不是替换，只是tanx/x的极限是1。
一开始只是把分母的tanx替换，后来把分母的4个x分一个与分子的x+tanx结合，得极限2，剩下的(x-tyanx)/x^3是0/0的形式，用洛必达法则