Question

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
详细过程！！！！！！！！

Answer 1

解：(1)当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．
∵点A在点B的左侧，
∴A、B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为(0，3)
设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0)，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴顶点D的坐标为(1，4)．
(2)抛物线上有三个这样的点Q，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为(2，3)；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为(1+，﹣3)；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为(1﹣，﹣3)；
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1(2，3)，Q2(1+，﹣3)，Q3(1﹣，﹣3)．