Question

定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x.y属于（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy）。

当x属于（-1，0）时，有f(x)>0.
求证：f（1/11)+f(1/19)+......+f(1/(n^2+5n+5)>f(1/3

Answer 1

本题比较难,分三步解决.
第一步，先证明f(x)是奇函数。
∵函数f(x)的定义域为(－1，1)，在f(x)＋f(y)＝f[(x+y)/(1＋xy)]中，令x=y=0得f(0)=0
再令y＝－x得f(x)＋f(－x)=f(0)=0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数。
第二步，再证明f(x)在(－1，1)为减函数。
设－1<x1<x2<0，则－1<x1－x2<0
故f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f[(x1－x2)/(1－x1x2)]>0，∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)是(-1,0)上的减函数，
又f(x)是奇函数，∴f(x)是(-1,1)上的减函数。
第三步，用裂项相消法化简不等式的左边，利用单调性证明此不等式。
∵在f(x)＋f(y)＝f[(x+y)/(1＋xy)]中，令x=1/n+2，y=－1/n+3得
f(1/n+2)－f(1/n+3)＝f(1/n+2)＋f(－1/n+3)＝f{[(1/n+2)＋(－1/n+3))]/[1－1/(n+2)(n+3)]}
＝f(1/(n^2+5n+5)
∴f(1/11)+f(1/19)＋…＋f(1/(n^2+5n+5)＝f(1/3)－f(1/4)＋f(1/4)－f(1/5)＋…＋f(1/n+2)－f(1/n+3)
＝f(1/3)－f(1/n+3)＝f(1/3)＋f(－1/n+3)
∵当x∈(－1，0)时，有f(x)>0，而－1<－1/(n+3)<0，∴f(－1/n+3)>0
∴f(1/11)+f(1/19)＋…＋f(1/(n^2+5n+5)＝f(1/3)＋f(－1/n+3)>f(1/3).