Question

如图，△ABC为正三角形，D，E分别为AC，BC上的点（不在顶点），∠BDE=60°． （1）求证：△DEC∽△BDA；

（2）若正△ABC的边长为6，并设DC=x，BE=y．试求y与x之间的函数关系式．（3）当D在何处时，BE最短，此时三角形BDE面积是多少？

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答：

⑴∵ΔABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°，∴∠1+∠3=120°，
∵∠BDE=60°，∴∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠2，
∴ΔDEC∽ΔBDC。
⑵CD=X，则AD=6-X，
由相似得：CE/CD=AD/AB，
∴CE=X(6-X)/6
∴Y=BE=6-CE=1/6X^2-X+6。
⑶Y=1/6(X^2-6X)+6=1/6(X-3)^2+9/2，
∴当X=3即D为AC中点时，BE最小等于9/2。
这时∠3=90°，∴SΔABD=1/2SΔABC，
SΔCDE=1/4SΔABD(相似比为1/2)
=1/8SΔABC，
∴SΔBDE=3/8SΔABC=3/8*√3/4*6^2=27√3/8。