Question

一道关于连续函数的高数题，急求答案

设函数f(x)在[0，2π]上连续，且f(0)=f(2π)，证明在[0，π]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=f(ξ+π)

Answer 1

要证明存在ξ∈[0,π]，使f(ξ)-f(ξ+π)=0
为此令F(x)=f(x)-f(x+π)，x∈[0,π]
则由f(0)=f(2π)得
F(π)=f(π)-f(2π)=f(π)-f(0)=-F(0)
若F(0)=0，则存在ξ=0∈[0,π)，使f(ξ)-f(ξ+π)=F(0)=0
若F(0)≠0，则F(0)*F(π)=-F^2(0)<0
又因为f(x)在[0,π]上连续，所以F(x)在[0,π]上连续
根据零点定理得
存在ξ∈[0,π]，使f(ξ)-f(ξ+π)=0，即f(ξ)=f(ξ+π)
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