Question

正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2，D为CC1中点,求证AB1⊥平面A1BD；我想问为什么B1O⊥BD就可以推出AB1⊥BD

证明：取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，∴AO⊥平面BCC1B1．
连接B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
又A1B∩BD=B，∴AB1⊥平面A1BD．
我想问为什么B1O⊥BD就可以推出AB1⊥BD呢？

Answer 1

显然你的提问是有道理的。解答过程缺少了重要的依据。
实际上这里得到AB1⊥BD是在BD⊥平面AOB1的前提下得到的（垂面垂线）。而BD⊥平面AOB1的条件有三个（垂线垂面）：
一是BD⊥B1O（你提问中的条件）
二是BD⊥AO（这个结论的前提是AO⊥平面BCC1B1，BD属于平面BCC1B1，垂面垂线）
三是B1O交AO于平面AOB1

注：
垂线垂面：若一条直线垂直于两条相交直线，则这条直线垂直于那两条相交直线构成的平面
垂面垂线：若一条直线垂直于一平面，则这条直线垂直于平面上的任意一条直线

Answer 2

用三垂线定理。