Question

求微分方程y'＋x＝√(x^2＋y)的通解

有哪位高手能解一下答案(x^2+y)^(3/2)=x^3+3/2*xy+C是怎么出来的？我算出的东西貌似跟它相差甚远。。。

Answer 1

y'＋x＝√(x^2＋y)
设√(x^2＋y)-x=u,
x^2＋y=x^2＋2xu+u^2
y'=2u+2xu'+2uu' 代入得：
u=2u+2xu'+2uu'
u'=-u/(2u+2x)
或：dx/du+2x/u=-2
这是x作为函数、u作为变量的一阶线性微分方程，由通解公式：
x=(1/u^2)(C-(2/3)u^3)
xu^2+(2/3)u^3=C 代入√(x^2＋y)-x=u：
C=(2/3)u^2(3x/2+u)
=(2/3)(√(x^2＋y)-x)^2(x/2+√(x^2＋y))
C=(2/3)[(x^2＋y)-2x√(x^2＋y)+x^2](x/2+√(x^2＋y))
=(2/3)(x(x^2＋y)/2+(x^2+y)^(3/2)-x^2√(x^2＋y)-2x(x^2＋y)+x^3/2+x^2√(x^2＋y))

=(2/3)((x^2+y)^(3/2)-x^3-(3/2)xy)

Answer 2

两边平方后移项得： （X-Y)^2 Y=0
所以X-Y=Y=0 即X=Y=0