Question

证明f(x)=(1+1/x)的x次幂在x>0上是严格单调增加的 求详细过程

Answer 1

令y=(1+1/x)^x，z=lny=x*ln(1+1/x)；
则z‘=ln(1+1/x)-1/(1+x)；
z’’=1/(1+x)^2-1/[(1+x)*x]=-1/[x*(1+x)^2]<0；
因此可知z‘是单调递减函数；
当x趋于无穷大时 lim(z’)=lim[ln(1+1/x)-1/(1+x)]=0-0=0；
由于z‘是单调递减函数，所以z‘>0；进而可知z是单调递增函数；
再根据指数函数性质可得出 y=e^z是单调递增函数，亦即y=(1+1/x)^x是单调递增函数；

Answer 2

f(x)=(1+1/x)^x=e^[xln(1+1/x)],x>0,
f'(x)=(1+1/x)^x*[ln(1+1/x)+x/(1+1/x)*(-1/x^)]
=(1+1/x)^x*[ln(1+1/x)-1/(x+1)],
设g(x)=ln(1+1/x)-1/(1+x),x>0,则
g'(x)=1/(1+1/x)*(-1/x^)+1/(1+x)^
=-1/[x(1+x)]+1/(1+x)^
=-1/[x(1+x)^]<0,
∴g(x)↓，g(x)>g(+∞）→0，
∴f'(x)>0,
∴f(x)↑。