Question

高等数学求不定积分，如图，第4题和第5题

Answer 1

5.
2+x-x²=9/4-(x-1/2)²
=9/4*[1-(2x-1)²/9]
原式=3/2*∫√[1-(2x-1)²/9]dx
令(2x-1)/3=sint,
x=(3sint+1)/2
dx=3/2*costdt
原式=9/4∫cos²tdt
=9/4*∫(1+cos2t)/2dt
=9/8*t+9/16*sin2t+C
=9/8*arcsin[(2x-1)/3]+1/8*(2x-1)*√(2+x-x²)+C

追问

怎么想到的？能给个具体思路吗？

追答

回代

4.
x²+2x+2=(x+1)²+1
令x+1=tanu,x=tanu-1
dx=sec²udu
原式=∫1/[(tanu-1)*secu]*sec²udu
=∫secu/(tanu-1)du
=∫1/(sinu-cosu)du
令t=tan(u/2),u=2arctant
du=2/(1+t²)dt
原式=∫1/[2t/(1+t²)+(1-t²)/(1+t²)]*2/(1+t²)dt
=2∫1/(-t²+2t+1)dt
=2*∫1/[2-(t-1)²]dt
=∫1/[1-(t-1)²/2]dt
令(t-1)/√2=sinθ
t=√2sinθ+1
dt=√2cosθdθ
原式=∫1/cos²θ*√2cosθdθ
=1/√2*∫secθdθ
=1/√2*ln|secθ+tanθ|+C

θ→t→u→x

步骤里面写的很详细

追问

第五题错了哟，应该是这样的吧