Question

线性代数，这个二次型能化为规范型吗？怎么化？

Answer 1

任何二次型都可以化成规范型

只需要在标准型的基础上

再做非奇异变换

将平方项的系数变为1或-1就可以了

方法如下：

这题的变化如下：

扩展资料：

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。

线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

·每一个线性空间都有一个基。

·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

·矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

·矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

·矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

·矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

·解线性方程组的克拉默法则。

·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

参考资料：百度百科-线性代数

Answer 2

任何二次型都可以化成规范型

只需要在标准型的基础上

再做非奇异变换

将平方项的系数变为1或-1就可以了

方法如下：

这题的变化如下：

追问

必须好评 ⊙▽⊙

亲还在吗

还在吗

Answer 3

1. 是的, 一般是先化为标准型

如果题目不指明用什么变换, 一般情况配方法比较简单

若题目指明用正交变换, 就只能通过特征值特征向量了

2. 已知标准形后, 平方项的系数的正负个数即正负惯性指数

配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值.

例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1

所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负)

Answer 4

任何二次型都可以化成规范型
只需要在标准型的基础上
再做非奇异变换
将平方项的系数变为1或-1就可