Question

大学数学 同余式 求解谢谢

(a) x ≡ 2^126 (mod 7)
(b) x^2 ≡ 4 (mod 13)
(c) 8x ≡ 11 (mod 27)
求过程。。能的话求指教这类题的通常解法，谢谢~

Answer 1

(a)不断降次就是了

x≡2^126≡(2^3)^42≡8^42≡1^42≡1(mod 7)
所以，x=1+7m（m∈Z）
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(b)用剩余类
容易证明，所有整数可以按照mod13的余数分为13-{0}、13-{1}、13-{2}、13-{3}、……、13-{12}共13类。
注意到，(13m+p)^2=13^2·m^2+2·13m·p+p^2
因而，x^2≡p^2，也就是说，一个数平方mod13相当于其余数的平方mod13
所以这13类数mod13分别为：0、1、4、9、3、12、10、10、12、3、9、4、1
因而，x^2≡4（mod 13）
那么x∈13-{2或11}
于是x＝13m+2或13m+11，实际上就是x=13m±2（m∈Z）
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(c)直接化为不定方程
8x＝11+27m
两边同时对8去mod
0≡3+3m（mod 8）
3m≡-3（mod 8）
m≡-1（mod 8）
m≡-1+8=7（mod8）
因而m=8n+7
代入原方程
8x=11+27×8n+27×7
8x=200+216n
x=25+27n（n∈Z）
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基本上来说，简单的计算问题大致上就是不定方程、剩余类、幂运算这几种了，可能还有其它方法，一时半会儿想不起来了。

以上。

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