Question

设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且满足f(1)=f(0)及|f''(x)|<=M(x∈[[0,1]，证明一切x∈[0,1],|f'(x)<=(M/2

设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且满足f(1)=f(0)及|f''(x)|<=M(x∈[[0,1]，证明一切x∈[0,1],|f'(x)<=(M/2)

Answer 1

Taylor展式：对任意的x，
f(0)＝f(x)+f'(x)(0－x)+f''(c1)(0－x)^2/2，
f(1)＝f(x)+f'(x)(1－x)+f''(c2)(1－x)^2/2。
两式相减，得
f'(x)＝f''(c1)x^2/2－f''(c2)(1－x)^2/2，
取绝对值并利用条件得
|f'(x)|<=M/2(x^2+(1－x)^2)<=M/2。
最后的不等式是因为x^2+(1－x)^2在[0，1]
上的最大值是1。