Question

高中数学题，求解答！

在三角形ABC中，已知︱BC︱=2且︱AB︱/︱AC︱=m。求点A的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图像。

Answer 1

由于坐标系没有确定，所以点A的轨迹方程是多种多样的，会因坐标系的不同而不同。
　　在直角坐标系、斜角坐标系、极坐标系中，同一图象的方程是不一样的，还因为原点的选取位置不同，图象的方程也不相同。

下面给出其中的一种情形：
以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴、BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。
一、当m＝1时，显然有：AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，
　　∴A的轨迹方程是x＝0。［点（0，0）除外］
二、当m≠1时，令A的坐标为（x，y），则：
　　∵｜BC｜＝2，∴B、C的坐标分别是（－1，0）、（1，0）。
　　∴｜AB｜＝√［（x＋1）^2＋y^2］，｜AC｜＝√［（x－1）^2＋y^2］，
　　∴依题意有：｜AB｜＝m｜AC｜，
　　∴√［（x＋1）^2＋y^2］＝m√［（x－1）^2＋y^2］，
　　两边平方，得：（x＋1）^2＋y^2＝m^2（x－1）^2＋m^2y^2，
　　∴x^2＋2x＋1＋y^2＝m^2x^2－2m^2x＋m^2＋m^2y^2，
　　∴（1－m^2）x^2＋（1－m^2）y^2＋2m^2x＝m^2－1。
　　显然，A不在BC上，即y≠0。
　　∴此时A的轨迹方程是圆（1－m^2）x^2＋（1－m^2）y^2＋2m^2x＝m^2－1。［其中y≠0］
综上一、二所述，得：满足条件的点A的轨迹有两种情况，分别是：
1、BC的垂直平分线（BC的中点除外）；
2、圆（圆与BC的交点除外）。

Answer 2

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