Question

已知cos（π/4-α）=3/5，sin（5π/4+β）=5/13，α∈（π/4,3π/4），β∈（0,π/4）求sin（α+β）的值?

Answer 1

这个已知条件有问题：由β∈（0,π/4），可以推知5π/4+β∈（5π/4,3π/2），所以，sin(5π/4+β)为负值(-5/13)，而不是正值（5/13）。
计算方法：
sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sin[(5π/4+β)-(π/4-α)]=-sin(5π/4+β)cos(π/4-α)+cos(5π/4+β)sin(π/4-α)
接下来根据已知条件求解cos(5π/4+β)和sin(π/4-α)带入即可求出答案。

Answer 2

∵α∈（π/4,3π/4）,β∈（0,π/4）
∴(α-π/4)∈（0,π/2）,（β+π/4）∈（π/4,π/2）
∴sin(α-π/4)=√[1-cos²(α-π/4)],cos（β+π/4）=√[1-sin²(β+π/4)]
∵cos(α-π/4)=cos（π/4-α）=3/5,sin（β+π/4）=-sin（5π/4+β）=-5/13
∴sin(α-π/4)=4/5,cos（β+π/4）=12/13
∴sin（α+β）=sin[（α-π/4)+(β+π/4）]=sin(α-π/4)cos（β+π/4）+cos(α-π/4)sin（β+π/4）=4/5*12/13+3/5*(-5/13)=33/65