Question

设a>0,x1>0,xn+1=1/3(2*xn+a/xn^2)(n=1,2,…，),求lim（x趋近无穷大）xn

Answer 1

设极限为x
x=1/3(2x+a/x²)
3x=2x+a/x²
x³=a
x=a^(1/3)

追问

师父，可是华工子弟？

追答

本题严格来讲还要证明它是单调的
用归纳法来证
xn+1=1/3*(xn+xn+a/xn²)>=(a)^(1/3)
即有下界
x1³>a
x1>a/x1²
x2=1/3(2x1+a/x1²)a
xn>a/xn²
有xn+1=1/3*(2xn+a/xn²)<1/3(2xn+xn)=xn

由归纳法知，函数是单调递减函数，即有极限
所以
设极限为x
x=1/3(2x+a/x²)
3x=2x+a/x²
x³=a
x=a^(1/3)