Question

这个变上限积分函数的导数怎么求？

Answer 1

公式：[∫[0→g(x)] h(x,t)f(t) dt]'=∫[0→g(x)] h'(x,t)f(t) dt + g'(x)h(x,g(x))f(g(x))
其中：h'(x,t)表示h对x求导，t看做常数。

F'(x)=5∫[0→x³] (x-t)^4 f(t) dt + 3x²(x-x³)^5f(x³)

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追问

可以告诉下这公式的名字吗？谢啦

追答

可以叫做“含参变量的变限积分求导”
其实就是变上限积分求导，复合函数求导法则，以及导数乘法公式合并起来用的。

Answer 2

令F(t)=∫(x-t)^5 f(t)dt
则有：f(x)=F(x^3)-F(0)
对t求导，得：F'(t)=(x-t)^5 f(t)
将t=x^3代入上式得：F'(x^3)=(x-x^3)^5f(x^3)
因此有: f'(x)=F'(x^3)*3x^2=3x^2(x-x^3)^5 f(x^3)

Answer 3

楼上回答不妥,这是含参变量x的积分的导数，积分里面还要求偏导数

Answer 4