Question

反正弦函数和反余弦和反正切的图象,定义域,值域,奇偶性,单调性和恒等式是什么?

Answer 1

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三角函数，而不是f-1(x）。
　　⑴正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。【图中红线】
　　⑵余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。【图中蓝线】
　　⑶正切函数y=tan x在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。【图中绿线】
　　注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】
　　反三角函数主要是三个：
　　y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；
　　y=arccos(x），定义域[-1，1] ， 值域[0，π]，图象用蓝色线条；
　　y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；
　　y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；
　　sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域 [-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx
　　证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得
　　其他几个用类似方法可得
　　cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x
　　tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx