Question

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形

已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
是初二数学，不要超纲解法

Answer 1

解：（1）AP=1*t=t,BP=AB-BP=3-t,BQ=1*t=t,<ABC=60°

        当<PQB=90°，cos<ABC=cos60°=BQ/BP=t/(3-t)=1/2，t=1

        当<BPQ=90°，cos<ABC=cos60°=BP/BQ=(3-t)/t=1/2，t=2

(2)

     

Answer 2

（1）解：因为三角形ABC是等边三角形
所以角B＝60度
BP＝3－t
BQ＝t
因为三角形PBQ是直角三角形
所以角BPQ＝90度
角BQP＝30度
所以BP＝1／2BQ
所以：3－t＝（1／2）＊t
解得：t＝2
所以当t＝2s时，三角形PBQ是直角三角形
（2）解：因为三角形PBQ的面积＋四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积
因为三角形ABC的面积＝（1／2）＊3＊3＊sin60＝9倍根号3／4
三角形PBQ的面积＝（1／2）＊（3－t）＊t＊sin60＝根号3＊（3t－t＾2）／4
因为四边形APQC的面积＝y
所以y＝［9倍根号3／4］－［根号3×（3t－t＾2）／4］
　　　＝－根号3＊t＾2／4＋3倍根号t／4＋9倍根号3／4
不存在四边形APQC的面积是三角形ABC的面积的三分二
因为当四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积的三分子二时
三角形PBQ的面积＝三角形ABC的面积的三分之一
即：3＊t＊（3－t）＝3＊3
t＾2－3t＋3＝0
因为该方程的判别式＝9－4×3＝－3＜0
所以该方程无解
所以不存在四边形的面积是三角形ABC的面积的三分之二

Answer 3

1、（1）△PBQ是直角三角形
∵∠B=60°
∴∠BPQ=30°
∴BQ=1/2BP
∵PA=BQ=t
∴BP=3-t
∴t=1/2（3-t）
t=1
(2)∵∠B=60°
∴∠BQP=30°
∴BP=1/2BQ
∵PA=BQ=t
∴BP=3-t
∴（3-t）=1/2t
t=2
∴当为1或2时，△PBQ是直角三角形
2、(1)做△ABC底边BC的高AD
∴∠BAD=90°-60°=30°
∴BD-1/2AB=3/2
∴AD²=AB²-BD²=3²-(3/2)²=27/4
AD=3√3/2
∴S△ABC=1/2BC×AD=1/2×3×3√3/2=9√3/4
做QE⊥BP
∴∠BQE=90°-60°=30°
∴BE=1/2BQ=t/2
∴QE²=BQ²-BE²=t²-(t/2)²=3t²/4
QE=√3t/2
∴S△BPQ=1/2BP×QE=1/2(3-t)×√3t/2=(3√3/4)t-(√3/4)t²
∴y=S△ABC-S△BPQ
=9√3/4-(3√3/4)t+(√3/4)t²
(2)y=2/3×S△ABC=2/3×9√3/4=3√3/2
∴9√3/4-(3√3/4)t+(√3/4)t²=3√3/2
整理：t²-3t+3=0
△=9-12=-3<0
∴无解即不存在