Question

求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值

请按照题意把图画出来，并按照“等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值”这句话，把它改写成 如图，已知.............求证.................
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Answer 1

在等边三角形中任取一点D 设它的高是h

连结AD BD CD

分设三角形ABD BDC ADC 的高是 a b c

于是S三角形ABC=S三角形BDC+S三角形ADC+S三角形ABD

                           =1/2（a*AB+b*BC+c*AC)=1/2AB*h

因为AB=BC=AC

所以S可以变为

                           1/2AB*(a+b+c)=1/2AB*h

所以a+b+c=h

从而命题得证

Answer 2

已知：等边三角形ABC,内一点O到三边AB,AC,BC距离分别为OD,OE,OF
求证;OD+OE+OF=定值
面积法
SABC=1/2AB*h
SABC=SAOB+SAOC+SBOC=1/2(OD*AB+OE*AC+AF*BC)=1/2AB(OD+OE+OF)=1/2AB*h
所以OD+OE+OF=h
即等边三角形内部任一点到三边的距离之和等于等边三角形的高，所以定值

Answer 3

建立在公元前底边中点作为原点的坐标系中，A（0，√3/2）中，B（-1 / 2,0），C（1/2，0），
三角形内的任意点P（X0，Y0），
BC方程为：y = 0，
AB方程为：y =√3倍+√3/2，
AC方程为：y = - √3倍+√3/2，
P到BC距离p1 = Y0，
P到的AC距离p2的= |源码3X0 + Y0-√3/2 | /？ = - （√3X0 + Y0-√3/2）/ 2，（考虑到X0，Y0，代数和的绝对值是小于高，符号者√3/2决定的符号，所以减号，由图观察）
（P到AB距离P3 = |√3X0-Y0 +√3/2 | / 2 =（√3X0-Y0 +√3/2）/ 2，
P1 + P2 + P3 = Y0-（√3X0 + Y0-√3/2）/ 2 +（√3X0-Y0 +√3/2）/ 2 =√3/2。
当| OA | =√3/2，
因此，一个等边三角形的三边的距离内的任何点和对于一个给定的值的一个边缘高。