Question

已知函数f(x)=ax^2-3ax-4在区间（-1,1）上有唯一零点。

(1)求实数a的取值范围
（2）若a=-32/11，用二分法求方程f（x）=0在区间（-1,1）上的根

Answer 1

先分析此函数的图象性质
对称轴 x=-(-3a)/2a=3/2
当 x=0时，y=-4,过定点 （0，－4）
因对称轴在区间右侧，并且过定点，所以
随着a的变化，图象左半部分位于区间(-1,1)处
为了使在该区间有零点，必须首先判别式>0

(-3a)²-4*a*(-4)>0 解得 a<-16/9 或 a>0

当a<-16/9时，图象开口向下，
按求根公式求出两个根，根据a定哪个是左根。
0<左根<1 (因过固定点（0,-4）

0<(3a+√（(-3a)²-4*a*(-4)）)/2a<1
解得 a<-2

当a>0时
－1<(3a－√（(-3a)²-4*a*(-4)）)/2a<0

解得： a>1

因此，a 的取值为 a<-2 或 a>1

以下是二分法求要的基本步骤：

a=-32/11时
1、取精确度为0.01
设
f a＝f(-1)=-15.636
fb＝f(1)=1.818

|a-b|=|-1-1|=2>0.01,fa*fb<0
取其中点，fc=f(0)=-4 为了简化步骤，

2、fb*fc<0,
取 fa=f(0)=-4
fb=f(1)=1.818

|0-1|=1>0.01
fc=f(0.5)=-0.363

3、 fb*fc<0
取 fa=f(0.5)=-0.364
fb=f(1)= 1.818
|1-0.5|=0.5>0.01
fc=f(0.75)=0.909

4、fa*fc<0
fa=f(0.5)=-0.364
fb=f(0.75)=0.909
|0.5-0.75|=0.25>0.01
fc=f(0.625)=0.318 [ (0.5+0.75)/2=0.625]

5、fa*fc<0
fa=f(0.5)=-0.364
fb=f(0.625)=0.318
|0.5-0.625|=0.125>0.01
fc=f(0.5625)=-0.011

6、fb*fc<0
fa=f(0.5625)=-0.011
fb=f(0.625)=0.318
|0.5625-0.625|=0.0625>0.01
fc=f(0.594)=0.158

7、fa*fc<0
fa=f(0.5625)=-0.011
fb=(0.594)=0.158
|0.5625-0.594|=0.0315>0.01
fc=f(0.578)=0.072
8、fa*fc<0
fa=f(0.5625)=-0.011
fb=f(0.578)=0.072
|0.5625-0.578|=0.0155>0.01
fc=f(0.570)=0.031
9、fa*fc<0
fa=f(0.5625)=-0.011
fb=f(0.570)=0.031
|0.5625-0.570|=0.0075<0.01

所以，零值近似值为0.5625~0.57间

较精确的解为：0.564586

（这二分法可不是人算的算法，累死了，还是交给电脑算比较合适。）