Question

高一数学 函数 设f(x)=(x^2-2x+a)/x ,对任意的x属于[2,正无穷),f(x)大于a恒成立，求a的取值范围

Answer 1

令f(x)>a则(x^2-2x+a)/x>a,即有x^2-2x+a>ax,
推出x^2-2x>a(x-1)
∵x∈[2,+∞ ),
∴(x-1)∈[1,+∞ )
∴分离变量得a<(x^2-2x)/(x-1)
令x-1=t,t∈[1,+∞ ),则x=t+1
∴(x^2-2x)/(x-1)=[(t+1)^2-2(t+1)]/t=[t^2+2t+1-2t-2]/t=[t^2-1]/t=t-1/t
令g(t)=t-1/t，
∵函数y=t在[1,+∞ ）上是增函数；函数y=1/t在[1,+∞ ）上是减函数
∴g(t)=t-1/t在[1,+∞ ）上是增函数（PS：增函数减去减函数得到的函数仍为增函数;另外到高二学了导数后求导后也容易判断g(t)为增函数）
∴在t=1时g(t)取得最小值g(1)=0
∴要使任意x∈[2,+∞ ),f(x)大于a恒成立，就是使a<g(t),t∈[1,+∞ )恒成立；即a小于g(t)在[1,+∞ ）上的最小值g(1)
∴最终a的取值范围是a<0(取不到0)

Answer 2

(负无穷，0]

追问

求过程

追答

x>=2,化简得x-2+a/x>a，移项得x+a/x>a+2；
a=2，a/x>a。
02+a不成立。
4a+2不成立。
a(负无穷，0)
a>0时，(x+a/x)在（0，√a）上单调递减，在（√a，正无穷）上单调递增

Answer 3

高中知识真是复杂啊 看着我头都晕，哎 还要再熬几年时个头啊 每天数学都做不过来

Answer 4

【0,2）

追问

求过程