高数——函数极限与无穷小关系的问题

在函数极限与无穷小关系中:函数是一个变量,那么一个变量怎么会等于一个常数A(极限值)与一个无穷小量之和呢。f(x)=A+a(x)既然是一个函数,那么他就有连续的值,就是一... 在函数极限与无穷小关系中:
函数是一个变量,那么一个变量怎么会等于一个常数A(极限值)与一个无穷小量之和呢。

f(x)=A+a(x)
既然是一个函数,那么他就有连续的值,就是一个变量,而极限值A是一个常量,无穷小也是一个常量,那么,两个常量之和怎么会等于一个变量(f())呢
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xindongreneu
2013-05-28 · TA获得超过9.8万个赞
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你是想问什么呢?这个命题明显是正确的,虽然这个命题对我们计算极限值的时候,似乎用处不大,不过在理论推导中应该有用处的。
这里是直接根据极限的定义来做的。还可以根据极限的性质之一:和差的极限等于极限的和差来做。
根据极限的性质,如果f(x)和g(x)都有极限。那么lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)。根据这个性质,很容易就证明这个命题了。

必要性:如果lim(x→x0)f(x)=A,令a(x)=f(x)-A,则lim(x→x0)a(x)=lim(x→x0)(f(x)-A)=lim(x→x0)f(x)-lim(x→x0)A=A-A=0,所以a(x)是x→x0的无穷小。而f(x)=A+a(x)

充分性也是一样证明。如果f(x)=A+a(x),a(x)是x→x0的无穷小,则lim(x→x0)a(x)=0
所以lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)(A+a(x)=lim(x→x0)A+lim(x→x0)a(x)=A+0=A

所以证明完毕。
arongustc
科技发烧友

推荐于2017-09-20 · 智能家居/数码/手机/智能家电产品都懂点
知道大有可为答主
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无穷小是一个值,它表示当x趋于某个值时,a(x)趋于0,f(x)是逼近于A得变量,它减去A以后当然也逼近于0
追问
既然是一个函数,那么他就有连续的值,就是一个变量,而极限值A是一个常量,无穷小也是一个常量,那么,两个常量之和怎么会等于一个变量(f())呢
追答
无穷小不是常量,它是一个过程,你把无穷小当作常量就是错误得。没有任何一个常量是无穷小
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苏八死灵
2012-10-27 · 超过18用户采纳过TA的回答
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这里的只是讨论f(x)这个函数在确定点x的值的取值趋势。。。
楼主所谓的俩常量加一起不等于一个变量,是没看到x是固定的吧
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王中王go
2012-10-27 · TA获得超过109个赞
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无穷小量不是一个很小的数,它是一个变量。
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