Question

请教2个关于三角函数的问题

（1）若关于x的方程3sinx+4cosx=a在区间(0,2π)内有两个相异实根p,q，求实数a和p+q的值。
（2）方程cos2x+2sinx+2m-3=0在[0,2π)上恰有两个相异的实数根,求m的取值范围。
拜托把过程写详细一点,这类问题都不是很会。

Answer 1

1）因p、q是方程的根
则3sinp+4cosp=a
即3/√(3^2+4^2)sinp+4/√(3^2+4^2)cosp=a/√(3^2+4^2)
即3/5sinp+4/5cosp=a/5
令3/5=cosФ，4/5=sinФ（显然0<Ф<π/2）
则有cosФsinp+sinФcosp=a/5
即有sin(p+Ф)=a/5（I）
同理有sin(q+Ф)=a/5（II）
由（I）（II）有sin(p+Ф)=sin(q+Ф)
即sin(p+Ф)-sin(q+Ф)=0
即2cos[(p+q)/2+Ф]sin[(p-q)/2]=0
因p≠q，且0<(p-q)/2<π，则sin[(p-q)/2]≠0
得cos[(p+q)/2+Ф]=0
而0<(p+q)/2<2π，则0<Ф<(p+q)/2+Ф<2π+Ф<5π/2
所以(p+q)/2+Ф=π/2或(p+q)/2+Ф=3π/2
于是p+q=π/2-Ф=π/2-arccos3/5=π/2-arcsin4/5
或p+q=3π/2-Ф=3π/2-arccos3/5=3π/2-arcsin4/5

由（I）（II）有
p+Ф=arcsin(a/5)
q+Ф=arcsin(a/5)
相加得p+q+2Ф=2arcsin(a/5)即(p+q)/2+Ф=arcsin(a/5)
由前面的结果知
当(p+q)/2+Ф=π/2时，arcsin(a/5)=π/2即a=5
当(p+q)/2+Ф=3π/2时，arcsin(a/5)=3π/2即a=-5
所以a=±5

2)因cos2x=1-2(sinx)^2，则
方程cos2x+2sinx+2m-3=0即(sinx)^2-sinx+(1-m)=0
如果上述方程sinx无解，则x无解
如果上述方程sinx有两解，因0≤x<2π，且每个解都满足-1≤sinx≤1，则每个sinx都对应两个不同的x值，即x有四个解
所以要保证在[0,2π)上恰有两个相异的x的实数根，上述关于sinx的方程有且只能有一个满足-1≤sinx≤1的解，分两种情况：
（1）当上述方程只有一个sinx的解，则必有⊿=4m-3=0，即m=3/4
此时sinx=1/2，满足-1≤sinx≤1
（2）当上述方程有两个sinx的解，但只有一个满足-1≤sinx≤1。不妨先解出sinx=[1-√(4m-3)]/2或sinx=[1+√(4m-3)]/2
当-1≤[1-√(4m-3)]/2≤1时，3/4<m≤3
当-1≤[1+√(4m-3)]/2≤1时，3/4<m≤1
如果sinx=[1-√(4m-3)]/2满足-1≤sinx≤1，则sinx=[1+√(4m-3)]/2不满足-1≤sinx≤1，此时1<m≤3
如果sinx=[1+√(4m-3)]/2满足-1≤sinx≤1，则sinx=[1-√(4m-3)]/2不满足-1≤sinx≤1，此时无m存在
综上知使得方程在[0,2π)上恰有两个相异的x的实数根的m的取值范围为{3/4}U(1，3]

Answer 2

(1)3sinx+4cosx=5sin(x+θ)=a;θ=arcsin4/5
x+θ∈(arcsin4/5,2π+arcsin4/5)
sin(x+θ)=a/5两个相异实根p,q
∴a/5∈(-1,1)且≠4/5
即a∈(-5,5)且≠4
两个相异实根p,q关于x+θ=π/2，或x+θ=3π/2对称
∴p+q=π/2-arcsin4/5，或3π/2-arcsin4/5
(2)cos2x+2sinx+2m-3=0
1-2sinx^2+2sinx+2m-3=0
sinx^2-sinx-m+1=0
方程在[0,2π)上恰有两个相异的实数根，就是说关于t的方程：t^2-t-m+1=0在(-1,1)有一个解
1、△=1-4(-m+1)=0→m=3/4
2、{△＞0
f(1)=-m+1＜0
f(-1)=-m+3＞0
解得：1＜m＜3
综上所述，1＜m＜3或m=3/4