Question

求下列函数的定义域、值域以及单调区间

Answer 1

第一题
1、求定义域
要使函数有意义，需要：x^2－5x＋4≧0，∴（x－1）（x－4）≧0，∴x≦1，或x≧4。
∴函数f（x）的定义域是（－∞，1］∪［4，＋∞）。

2、求单调区间
令H（x）＝x^2－5x＋4，则：H′（x）＝2x－5，令H′（x）＞0，得：2x－5＞0，∴x＞5/2。
∴H（x）的增区间是（5/2，＋∞），减区间是（－∞，5/2）。
显然，当H（x）递增时，f（x）也递增；反之，当H（x）递减时，f（x）也递减。
考虑到f（x）的定义域，得：f（x）的增区间是［4，＋∞）、减区间是（－∞，1］。

3、求值域
显然，H（1）＝H（4）＝0，∴f（x）的最小值是1。
∴函数f（x）的值域是［1，＋∞）。

第二题
1、求定义域
显然，x可取任意实数，∴f（x）的定义域是R。

2、求值域
∵g（x）＝－［（1/2）^x］^2＋4（1/2）^x＋5＝9－［（1/2）^x－2］^2≦9。
∴g（x）的值域是［9，＋∞）。

3、求单调区间
∵g（x）＝－［（1/2）^x］^2＋4（1/2）^x＋5，
∴g′（x）
＝－2［（1/2）^x］［（1/2）^x］ln（1/2）＋4［（1/2）^x］ln（1/2）
＝2［（1/2）^x］［（1/2）^x］ln2－4［（1/2）^x］ln2
＝2［（1/2）^x］［（1/2）^x－2］ln2。
令g′（x）＞0，得：（1/2）^x－2＞0，∴（1/2）^x＞2＝（1/2）^（－1），∴x＜－1。
∴g（x）的增区间是（－∞，－1）；减区间是（－1，＋∞）。