Question

若函数f(x)={-x²+x(x>0) ax²+x(x≤0)当a为何值时，f（x）是奇函数，并证明

Answer 1

f(x)的定义域为R
f(x)为奇函数需f(-x)=-f(x)

当x>0时，-x<0
f(x)=-x²+x,
f(-x)=a(-x)²+(-x)=ax²-x
若 f(-x)=-f(x)
则ax²-x=x²-x
∴a=1

当a=1时，
x>0时，-x<0
f(x)=-x²+x
f(-x)=(-x)²+(-x)=x²-x=-f(x)

∴当a=1时，f（x）是奇函数

Answer 2

设x>0
f(-x)=ax²-x
-f(x)=x²-x
奇函数要求：f(-x)=-f(x)，因此a=1时为奇函数。