Question

如图,在正方形ABCD外取一点E.连接AE、BE、DE。

如图,在正方形ABCD外取一点E.连接AE、BE、DE。过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=BE=1，连接PC，求PC长度。
画的不好，但是三角形APD和三角形AEB是全等的，DE是垂直BE的，能不能别超纲了，就初二的水平？

Answer 1

由AE=BE得到 点E在AB的中垂线上，则 三角形ADE的面积不变，如下图 o为AC的中点 ，设正方形边长为x，则ADE的面积为1/4 x的平方，因APE的面积一定就能求出APD的面积 ，而APD以PD为底线的高已知（根据APE为底角为45°的特殊直角三角形求得），然后求出PD的长度，当然此时只能带有x的表达式表示PD的长度，然后造一个特殊三角形MDE 与APE成等比例 ，然后求出AM 、MD的长度（也是X的表达式），然后根据勾股定理 AM的平方加上 MD的平方等于AD的平方，求出x的值（排除一个，根据PD的表达式排除）再求出PD 的长度 ，你会发现AP和PD的长度一样，所以p在AD的中垂线上  ，后面就是根据APD的面积求出p到AD的距离（这个可以还是写x的表达式，方便后面的计算），然后求出p到BC的距离即图中的PN，这样PNC为直角三角形，NC=1/2BC ,再根据勾股定理求出PC ，最后算出PC的值为3

Answer 2

三角形APD和三角形AEB是全等的，且是等腰三角形。由勾股定理得EP=根号2，证DE是垂直BE，连接PB，由勾股定理得PB=根号3，证PC=PB。

Answer 3

AP=PD=AE=EB
EP=sqrt(2)
DE = 1+sqrt(2)
设AD=a
<EAB=<PAD
DE^2 = AE^2 + AD^2 - 2AE*ADcos(90+<EAB)
3+2sqrt(2) = 1 + a^2 + 2a sin<EAB
a = 2cos<EAB
2+2sqrt(2) = 4cos^2 <EAB + 2sin2<EAB
1+sqrt(2) = 2(1+cos2<EAB) + 2sin2<EAB
2(sin2<EAB+cos2<EAB) =sqrt(2)-1
sin(2<EAB + pi/4) = 1/2 - 1/2sqrt(2)
得到角度就好算了

追问

sqrt什么意思

追答

平方根