Question

已知对任何的x,整系数多项式ax^3+bx^2+cx+d都能被5整除.求证所有系数a,b,c,d都能被5整除。

若a|b,a|c,则a|(b+c)。

那么，可以直接返回来运用么？

Answer 1

这个定理不能反过来用。
这个题目的关键在于任何x的“任何”两字。
取x为0，则可证d可被5整除
取x为1，则a+b+c可被5整除；
取x为-1，则-a+b-c可被5整除；
以上两式相加得2b 可被5整除，又因为b是整数，所以b可被5整除。
取x为2，则8a+2c可被5整除（已忽略b 和d ，前面已经证明，下同）
又因为a+c可被5整除，2a+2c可被5整除
则6a可被5整除，又因为a是整数，所以a可被5整除。
因为8a+8c可被5整除，8a+2c可被5整除，所以6c可被5整除，又因为c是整数，所以c可被5整除。