Question

一道关于数学导数的证明问题，数学高手帮帮我把

已知f(x)=(x+1)lnx-x+1,证明（x+1)f(x)≥0

Answer 1

你好！

题目有误，是证明 (x-1)f(x) ≥ 0

定义域 x>0
f'(x) = lnx + (x+1)/x - 1 = lnx + 1/x
f''(x) = 1/x - 1/x² = (x-1)/x²
f''(x) = 0 得 x=1
∴f'(x) 在(0,1) 递减，在(1,+∞)递增
f'(x) ≥ f'(1) = 1 > 0
∴f(x) 单调递增

当x≥1时，x-1≥0
f(x)≥f(1) = 0
∴(x-1)f(x) ≥ 0

当 0<x<1时，x-1<0
f(x) < f(1) = 0
∴(x-1)f(x) ≥ 0

故 (x-1)f(x) ≥ 0