Question

如图所示，△ABC是边长为3的等边三角形，P,Q,R分别是AB,BC,CA,上一动点，他们以相同的速度，

P由A向B运动，Q由B向C运动，R由C向A运动，设AP为x，三角形PQR的面积为S，(1)求S与x之间的函数关系式 (2)当x为何值时，S有最小值，最小值时多少

Answer 1

（1）解：因为动点P,Q,R的运动速度相同
所以AP=BQ=CR=x
因为三角形ABC是等边三角形
所以角A=60度
S三角形APR=S三角形BPQ=S三角形CQR=1/2*AP*AR*sin角A
因为等边三角形的边长=3
S等边三角形ABC=S三角形PQR+S三角形APR*3
S三角形PQR=s
所以s=1/2*3*3*sin60-1/2*x*(3-x)sin60*3
=3倍根号3/4(x^2-3x+3)
(2)s=3倍根号3/4[(x-3/2)^2+3/4]
=3倍根号3/4(x-3/2)^2+9倍根号3/16
当x=3/2时，S有最小值，最小值是9倍根号3/16
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Answer 2

∵P、Q、R的运动速度相同，∴AP＝BQ＝CR＝x，∴BP＝CQ＝AR＝3－x。
∴S(△APR)＝S(△BPQ)＝S(△CQR)＝（1/2）AP×ARcosA。
显然有：S(△ABC)＝（1/2）AB×ACcosA。

∴S(△PQR)
＝S(△ABC)－S(△APR)－S(△BPQ)－S(△CQR)
＝（1/2）AB×ACcosA－3×（1/2）AP×ARcosA
＝（1/2）cosA（AB×AC－3AP×AR）。
∵△ABC是等边三角形，∴A＝60°、AB＝AC＝3，又S(△PQR)＝S。
∴S＝（1/2）cos60°［3^2－3x（3－x）］＝（9－9x＋3x^2）/4。

第二个问就用对称轴求出X的值代入y就行了