Question

如图,在△ABC中,∠A和∠B和∠C的对边分别为a,b,c,且(ab-1)²+(a-b)²=0.作△ABC的角平分线AD,

若AC+CD=AB,求S△ABC.

Answer 1

解：∵(ab-1)^2+(a-b)^2=0.∴ab-1=0, ab=1；a-b=0, a=b.
∵AD是∠A的平分线，∴BD/DC=AB/AC.
(BD+DC)/DC=(AB+AC)/AC.
a/DC=(c+b)/b
DC=ab/(c+b)
DC=1/(c+b).

当 DC=AB-AC=c-b时，有：
∴(c-b)(c+b)=1.
c^2-b^2=1.
c^2-b^2=ab=a^2.
∴c^2=a^2+b^2.
∴△ABC为直角三角形，∠C为直角。
∴S△ABC=(1/2)ab=1/2 (面积单位）。

Answer 2

、（ab-1)²+（a-b²=0
ab-1=0 ab=1
a-b=0
a=b=1
所以△ABC是等腰三角形
2、在AB上截取AF=AC，连接DF
∵AD平分△BAC
∴∠FAD(∠BAC)=∠DAC
∵AD=AD
AC=AF
∴△ADF≌∠ACD
∴∠C=∠AFD
CD=DF
∵AC+CD=AB
AF+BF=AB
∴BF=CD=DF
∴△BDF是等腰三角形
∴∠B=∠BDF
∵a(BC)=b(AC)=1(第一问中证明的结论）
∴∠BAC=∠B
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
∠AFD=∠B+∠BDF=2∠B
∴2∠B+∠C=∠AFD+∠C=2∠C=180°
∴∠C=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴S△ABC=1/2BC×AC=1/2a×b=1/2×1×1=1/2
3、∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°
∴∠BAC=45°
∴∠BAD=∠DAC=1/2∠BAC=22.5°
∵AM=CM
∴∠ACM=∠DAC=22.5°
∴∠DMC=∠ACM+∠DAC=45°
∵∠DCE=∠ACM
∠BCM+∠ACM=∠ACB=90°
∴∠ECM=90°
∴∠MEC=∠ECM-∠DMC=90°-45°=45°
∴△MCE是等腰直角三角形
∴CE=CM
在Rt△ABC中
∠MDC(ADC)=90°-∠DAC=90°-22.5°=67.5°
∠DCM=∠ACB-∠ACM=90°-22.5°=67.5°
∴∠MDC=∠DCM
∴DM=CM=AM
∴CM=1/2AD
∴CE=CM=1/2AD
即AD=2CE

Answer 3

：∵(ab-1)^2+(a-b)^2=0.∴ab-1=0, ab=1；a-b=0, a=b.
∵AD是∠A的平分线，∴BD/DC=AB/AC.
(BD+DC)/DC=(AB+AC)/AC.
a/DC=(c+b)/b
DC=ab/(c+b)
DC=1/(c+b).

当 DC=AB-AC=c-b时，有：
∴(c-b)(c+b)=1.
c^2-b^2=1.
c^2-b^2=ab=a^2.
∴c^2=a^2+b^2.
C为直角。
∴S△ABC=(1/2)ab=1/2