Question

已知函数f(x)=-x2+4x,0≤x<4；log2(x-2)+2,4≤x≤6，若存在x1，x2属

已知函数f(x)=-x2+4x,0≤x<4；log2(x-2)+2,4≤x≤6，若存在x1，x2属于R，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围

Answer 1

解：
f(x1)=-x1²+4x=-(x1-2)²+4
0≤x1<4
0≤f(x1)≤4
f(x2)=log2(x2-2)+2
4<x2≤6，2<x2-2≤4，log2(2)<log2(x2-2)≤log2(4)
1<log2(x2-2)≤2
3<log2(x2-2)+2≤4
3<f(x2)≤4
要f(x1)=f(x2)成立，3<f(x1)≤4
-x1²+4x≤4
x1²-4x+4≥0
(x-2)²≥0
平方项恒非负，不等式恒成立
-x1²+4x>3
x1²-4x+3<0
(x1-1)(x1-3)<0
1<x1<3
综上，得：1<x1<3
f(x1)=f(x2)，x1f(x2)=x1f(x1)
令g(x1)=x1f(x1)
g(x1)=x1f(x1)=x1(-x1²+4x)=-x1³+4x²
g'(x1)=-3x1²+8x1
令g'(x1)≥0
-3x1²+8x1≥0
3x1²-8x1≤0
x1(3x1-8)≤0
0≤x1≤8/3，又1<x1<3，因此1<x1≤8/3
g(x)在区间(1，8/3)上单调递增，在(8/3，3)上单调递减
x1=8/3时，g(x)取得最大值g(x)max=-(8/3)³+4·(-8/3)²=256/27
令x1=1，得g(x)=-1+4=3
令x1=3，得g(x)=-3³+4·3²=9
综上，得：3<g(x)≤256/27
3<x1f(x1)≤256/27
3<x1f(x2)≤256/27
x1f(x2)的取值范围为(3，256/27]