Question

高数问题 讨论如图函数的的连续性，答案是除x=0外处处连续

怕看不清再打一遍，f（x）=lim〔x²/（1＋x²）＋x²/（1＋x²）²＋...＋x²/（1＋x²）∧n〕，（函数是n趋向无穷大的极限）∧n是指n次方。。。

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Answer 1

先观察题目：
f(x)=lim(n→∞) x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
这是一个关于x的函数，对于后面的极限，x被看作常数

而利用等比数列求和公式：
x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
=x^2*[1/(1+x^2)]*[1-[1/(1+x^2)]^n] / [1-[1/(1+x^2)]]
=x^2*[1/(1+x^2)]*[1-1/(1+x^2)^n] / x^2/(1+x^2)
=1 - 1/(1+x^2)^n

因此，
f(x)
=lim(n→∞) x^2*[1/(1+x^2)+1/(1+x^2)^2+……+1/(1+x^2)^n]
=lim(n→∞) 1 - 1/(1+x^2)^n
={1，x≠0
{0，x=0
那么，明显当x≠0时，f(x)恒为1，明显是连续的
当x=0时，f(x)=0≠1=lim(x→0) f(x)，根据定义，明显不连续
故原命题成立~~~
有不懂欢迎追问

Answer 2

上传图片时总是不行

　　讨论Q:1/(x^2+1)

　　x=0是1，其他时候均是小于1

　故　x=0    f(x)=0

1. x其他时  f(x)=1  F(X)=X^2*(1/x^2)=1