Question

初二几何题！急急急急急急急急急急急急！！！！！

△ABC是等边三角形，CO=6，DO=2，∠BAC的平分线交y轴于点D。
将∠BAC绕B点顺时针旋转,两边与y轴正半轴,AD的延长线交于M,N,下列两个结论中：①DN-DM；②DN+DM。哪一个是定值，并证明。

一定要完整过程！！！！！作辅助线最好加图！！！！！

Answer 1

分析：当M和N远离D点时，DN和DM都要变大，故DN+DM不会是定值，而DN-DM有可能是定值。

当M点与C点重合时，MN⊥MD（图一），在△DMN中由∠MDN=60°得DN-DM=DM=CD=6-2=4。

一般情况下（图二），由已知可知D点是等边三角形ABC的重心，连接BD可得BD=CD=6-2=4，

且∠BDN=60°，∠MDB=120°。在DN上取一点E，使DE=DB，那么△EDB是等边三角形，∠DEB=60°，∠NEB=120°。由于∠DBE=∠MBN=60°，所以∠DBM=∠EBN， 可   证△DBM≌△EBN，得DM=EN。于是DN-DM=DN-EN=DE=DB=CD=CO-DO=6-2=4，是定值。

Answer 2

DB=2DO=4

∠DBO=30°

∠CBM=120°

∠CBM=60°

∠BDM=60°

∠DBM=α

∠DMB=60°-α

∠DNB=60°-α

 

 

△DBN

DN/sin(60°+α)=DB/sin(60°-α)

DN=2sin(60°+α)/sin(60°-α)

 

△DBM

DM=DBsinα/sin(60°-α)

DM/sinα=2/sin(60°-α)

 

DN-DM=4sin(60°+α)/sin(60°-α)-2sinα/sin(60°-α)

=4(sin(60°+α)-sinα)/sin(60°-α)

=4(sin60°cosα+cos60°sinα-sinα)/sin(60°-α)

=4(sin60°cosα+sinα/2-sinα)/sin(60°-α)

=4(sin60°cosα-sinα/2/sin(60°-α)

=4(sin60°cosα-cos60°sinα)/sin(60°-α)

=4sin(60°-α)/sin(60°-α)

=4