Question

已知：反比例函数y=2/x和y=8/x在平面直角坐标系xOy第一象限中的图像如图所示，点A在y=8/x的图像上，AB平行

已知：反比例函数y=2/x和y=8/x在平面直角坐标系xOy第一象限中的图像如图所示，点A在y=8/x的图像上，AB平行于y轴，与y=2/x交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与y=2/x、y=8/x的图像交于点C、D。
（1）若点A的横坐标为2，求直线CD的解析式
（2）若点A得横坐标为m，梯形ABCD的对角线的交点为F，求△OBC的面积和梯形ACBD的面积比的值

Answer 1

分析：（1）首先根据点A的横坐标和双曲线的解析式，可以分别求得点A、B、C、D四个点的坐标．根据点C、D的坐标可以运用待定系数法求得直线CD的解析式，根据题意，得点F的横坐标是2，再进一步把x=2代入直线CD的解析式即可求得点F的纵坐标；
（2）根据（1）中的方法可以用m表示出A、B、C、D四个点的坐标，从而求得直角三角形ABC的面积；由于三角形OBC的形状不规则，可以对其面积进行转换．作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．根据反比例函数的解析式可知：S△OCN=S△OBM=1．所以该三角形的面积即为梯形CNMB的面积，根据梯形的面积公式进行计算，再进一步比较其大小；
（3）根据两个三角形相似，则夹直角的两组对应边的比应相等，即AB2=AC•BD，再结合（2）中的坐标计算出线段的长度，列方程得m4=16，又m＞0，则m=2．
解：（1）如图，由题可知，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（1/2，4），D（8，1）．（1分）

解一：直线CD的解析式为y=-2/5x+5/21(2分)
∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴x=2时，y=-2/5乘2+5/21=17/5
∴点F的坐标为(2，17/5))．（3分）
解二：AC=3/2，BD=6，AB=3．
∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴△ACF∽△BDF
∴AF/BF=AC/BD=1/4
∴AF/AB=1/5 ，AF=3/5，点F的纵坐标为17/5(2分）
∴点F的坐标为(2，17/5)；（3分）
（2）如图，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、
B、C、D的坐标分别为A(m，8/m)，B(m，2/m)，C(m/4 , 8/m)，D(4m，2/m)
S△ABC=1/2×AC×AB=1/1*3m/4*6/m=9/4(4分）
S△OBC=S梯形CNMB+S△OCN-S△OBM=S梯形CNMB=1/2(8/m+2/m)*3m/4=15/4(5分)
∴S△OBC＞S△ABC；（6分）
（3）点A的坐标为（2，4）．（7分）
点评：注意几个结论：（1）双曲线y=k/x上任意一点向x轴或y轴引垂线，这点、垂足和原点组成的三角形的面积是(k)(此处括号代表绝对值)/2；（2）平行于x轴的线段的长等于两个点的横坐标差的绝对值；平行于y轴的线段的长等于两个点的纵坐标的差的绝对值．

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Answer 2

已知：反比例函数y=2/x和y=8/x在平面直角坐标系xOy第一象限中的图像如图所示，点A在y=8/x的图像上，AB平行于y轴，与y=2/x交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与y=2/x、y=8/x的图像交于点C、D。
（1）若点A的横坐标为2，求直线CD的解析式
（2）若点A得横坐标为m，梯形ABCD的对角线的交点为F，求△OBC的面积和梯形ACBD的面积比的值
(1)解析：∵反比例函数y=2/x和y=8/x，点A，D在y=8/x的图像上，点B,C在y=2/x的图像上，AB//Y轴，AC//BD//X轴
设A(x0,8/x0)
∴B(x0,2/x0)，C(x0/4,8/x0)，D(4x0,2/x0)
∵x0=2
∴C(1/2,4),D(8,1)
∴CD方程为：y-1=-2/5(x-8)==>2x+5y-21=0
(2)解析：设m=x0
∵A(x0,8/x0)，B(x0,2/x0)，C(x0/4,8/x0)，D(4x0,2/x0)
OC方程：y=32/x0^2*x
延长DB交OC于E
令2/x0=32/x0^2*x==>x=x0/16
∴E(x0/16,2/x0)
∴S(⊿OBC)=1/2*(x0-x0/16)*8/x0=15/4
S(ABCD)=1/2[(x0-x0/4)+(4x0-x0)]*(8/x0-2/x0)=45/4
∴S(⊿OBC)/S(ABCD)=1/3

Answer 3

A的横坐标应为2.5，解题过程如下
1)令x=2.5 代入y=2/x =0.8 B(2.5 , 0.8)
代入y=8/x=3.2 A(2.5,3.2) C( 0.625,3.2)
S=1/2AB*AC=0.5*(3.2-0.8)*(2.5-0.625)=2.25