求由下列方程所确定的函数或偏导数F(x+z/y,y+z/x)=0,F可微

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解:三个未知数(x,y,z),两个线性无关的方程组,则任意未知数都可以表为另外两个未知数的函数。也即,有y=y(x),z=z(x)

事实上,这里求的应该是dy/dx,dz/dx,以及d²y/dx²,不应说成求偏导。

对第一个方程两边对x求导,得

1+dy/dx+dz/dx=0 ①

第二个方程两边对x求导,得

yz+x(dy/dx*z+x*dz/dx)=0

两边都乘以x,得

1+x²(dy/dx*z+x*dz/dx)=0 ②

联立①和②,解得

dy/dx=(1-x³)/[x²(x-z)]

dz/dx=(x²z-1)/[x²(x-z)]

d²y/dx²=d(dy/dx)/dx=d{(1-x³)/[x²(x-z)]}/dx

=[-3x²*x²(x-z)+(1-x³)*(3x²-2xz-x²*dz/dx)]/[x²(x-z)]² (注意x²z对x求导时不要漏了x²*dz/dx项)

=…… (将dz/dx代入即可)

事实上,也可以将两个方程变形:

y+z=-x

yz=1/x

根据韦达定理,y和z为关于X的一元二方程的两个根:

X²+xX+1/x=0

也即y,z=[-x±√(x²-4/x)]/2

下面再求导是很简单的。

需要指出的是,求得的结果,形式上并不是唯一的。可充分利用两个等式条件进行变形。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

茹翊神谕者

2021-07-09 · TA获得超过2.5万个赞
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简单计算一下即可,答案如图所示

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kent0607
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2016-04-01 · 关注我不会让你失望
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  对方程两边求微分,得
    F1*[d x+(-z/y²) dy+( 1/y)dz]+F1*[dy+(-z/x²)dx+(1/x)dz] = 0,
整理成
    dz = ----dx + ----dy,
你要的偏导数就有了,……。
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