Question

设两个方程x²+ax+b=0和x²+bx+a=0有一公共根，问：

当a∈[-1，0]，b∈[-1，0]时，求a²+b²的最大值与最小值

Answer 1

设公共根为m，将m代入两方程，得：
m²+am+b=0……①
m²+bm+a=0……②
①-②得：a(m-1)-b(m-1)=0，
整理得：a(m-1)=b(m-1)
1，若m≠1，则，a=b
a²+b²最大=2a²最大=2x(-1)²=2
a²+b²最小=2a²最小=2x0²=0
2，若m=1，代入原方程得，a+b=0，即，b=-a
a²+b²最大=2a²最大=2x(-1)²=2
a²+b²最小=2a²最小=2x0²=0
综合1和2得：
a²+b²最大=2
a²+b²最小=0

追问

可是它的前一问是：a与b有什么关系，答案是a+b=-1,不是矛盾吗？

追答

算错了，正确如下：
1，若m≠1，则，a=b
此时，两个方程完全相同，
即，两方程有两个公用根，与题意（一个公用根）不符，舍去。
2，若m=1，代入原方程得，a+b=-1……（第一次回答，此处算错了）
即，a=-(b+1)
令f(b)=a²+b²=(b+1)²+b²=2b²+2b+1，b∈[-1，0]
对称轴b=-1/2，A=1＞0，（A为二次函数中，二次项的系数。）
所以，f(b)最小=(4x2x1-2²)/(4x2)=1/2
b的两个区间端点-1和0，与b=-1/2对称，
所以，f(-1)=f(0)
f(b)最大=f(0)=1
结论：a²+b²的最大值为1，最小值为1/2。

追问

A=2吧？

追答

A=2，写错了。
结果好像没错。
打字比课堂讲累多了。

Answer 2

回答可以的