Question

如图,在平面直角坐标系中,直线y=4/3 x+4 与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴正半轴上一点

如图,在平面直角坐标系中,直线y=4/3 x+4 与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴正半轴上一点，将△BOC沿直线BC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处

（1）求直线BC的解析式
（2）点P从点A出发以每秒2个单位的速度向终点C运动，过点P作PG⊥CD，垂足为G，交线段BC于点H，设运动时间为t秒，线段GH的长为y,求y与t之间的函数关系式（并直接写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，是否存在t值使△PBH为直角三角形，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由

Answer 1

1、
显然∠CBO=∠CBD，而D在AB上，
所以∠ABO+∠CBO+∠CBD=180°
直线y=4/3 x+4 与x轴、y轴交于A、B两点
所以A点坐标为(-3,0)，B点坐标为(0,4)
而tan∠ABO=|AO| / |BO|=3/4，
故tan∠DOB=tan(180°-∠ABO)= -tan∠ABO= -3/4
又∠DOB=2∠CBO，
故tan∠DOB=2tan∠CBO /(1- tan²∠CBO)= -3/4
令tan∠CBO=x，
即2x/(1-x²)= -3/4，
化简得到3x²-8x-3=0，
解得x=3或 -1/3，
而显然∠CBO是小于90°的，故tan∠CBO >0，
故tan∠CBO=3
所以|OC|=|BO|*tan∠CBO=12，
于是直线BC的解析式为：
y=(-x+12)/3 即x+3y=12

2、
PG⊥CD，而CD⊥AB
故PG平行于AB，
由平行线的性质可以知道，
|GH| /|BD|=|CH| /|CB|，
而|CH| /|CB|=|CP| / |CA|
点P从点A出发以每秒2个单位的速度向终点C运动
故|CA|=15，而|CP|=15-2t
所以
|GH| /|BD|=|CP| / |CA| = (15-2t)/15，而|BD|=|BO|=4，
所以GH的长|GH|=(60-8t)/15，t的取值范围是[0，7.5]

3、
若△PBH为直角三角形，
因为PG⊥CD，显然不可能再垂直于BC，
故只可能∠PBH或∠HPB是直角，
若∠PBH是直角，则P在x的负半轴上，
tan∠BPO=tan∠CBO=3，
即|PO|=4/3，
那么t=(|AO|-|PO|) /2=5/6秒
若∠HPB是直角，则P在x的正半轴上，
由PB⊥PG，而PG⊥CD，
可以得到PB平行于CD，即PB⊥AB
tan∠BPO=tan∠ABO=3/4，
即|PO|=4*(4/3)=16/3，
那么t=(|AO|+|PO|) /2=25/6秒