Question

初中数学题 求高手

在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，以D为顶点作∠MDN=∠B

（1）如左边的图，当射线DN过点A时，DM交AC与E，写出与△ADE相似的三角形。
（2）如右边的图，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB与E、F，E与A不重合，不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。
（3）如右边的图，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF面积等于△ABC面积的四分之一时，求线段EF的长。

Answer 1

　　（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
　　（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
　　（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的1/4时，求线段EF的长．
　　【分析问题】：
　　（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
　　（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出BD /DF =EC/DE ，进而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
　　（3）首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的1/4 ，求出DH的长，进而利用S△DEF的值求出EF即可．

　　【解答问题】
　　（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
　　证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
　　∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
　　又∵∠MDN=∠B，
　　∴△ADE∽△ABD，
　　同理可得：△ADE∽△ACD，
　　∵∠MDN=∠C=∠B，
　　∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
　　∠B=∠MDN，
　　∴∠BAD=∠EDC，
　　∵∠B=∠C，
　　∴△ABD∽△DCE，
　　∴△ADE∽△DCE，
　　（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
　　证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
　　∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
　　又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
　　由AB=AC，得∠B=∠C，
　　∴△BDF∽△CED，
　　∴BD /DF=EC/DE ．
　　∵BD=CD，
　　∴CD/DF=EC/DE ．
　　又∵∠C=∠EDF，
　　∴△BDF∽△CED∽△DEF．
　　（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
　　∵AB=AC，D是BC的中点，
　　∴AD⊥BC，BD=1/2
　　BC=6．
　　在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，
　　∴AD=8
　　∴S△ABC=1/2
　　BC•AD=1/2 ×12×8=48．
　　S△DEF=1/4S△ABC=1/4 ×48=12．
　　又∵
　　1/2AD*BD=1/2 AB*DH，
　　∴DH=AD•BD /AB =8×6 /10 =24/5 ，
　　∵△BDF∽△DEF，
　　∴∠DFB=∠EFD
　　∵DG⊥EF，DH⊥BF，
　　∴DH=DG=24 /5
　　∵S△DEF=1/2×EF×DG=12，
　　∴EF=12/(1/2DG ) =5．

追问

大哥你这么快啊

Answer 2

（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴BD /DF=EC/DE ．
∵BD=CD，
∴CD/DF=EC/DE ．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=1/2
BC=6．
在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，
∴AD=8
∴S△ABC=1/2
BC•AD=1/2 ×12×8=48．
S△DEF=1/4S△ABC=1/4 ×48=12．
又∵
1/2AD*BD=1/2 AB*DH，
∴DH=AD•BD /AB =8×6 /10 =24/5 ，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=24 /5
∵S△DEF=1/2×EF×DG=12，
∴EF=12/(1/2DG ) =5．

Answer 3

解答：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
由AB=AC，得∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED，
∴BDDF=
ECDE．
∵BD=CD，
∴CDDF=
ECDE．
又∵∠C=∠EDF，
∴△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=6．
在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，
∴AD=8
∴S△ABC=12BC•AD=12×12×8=48．
S△DEF=14S△ABC=14×48=12．
又∵12AD•BD=12AB．DH，
∴DH=AD•BDAB=8×610=245，
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD
∵DG⊥EF，DH⊥BF，
∴DH=DG=245．
∵S△DEF=12×EF×DG=12，
∴EF=1212DG=5．

Answer 4

（1）△ABD，△ACD，△DCE．
　　证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
　　∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
　　∵∠MDN=∠B，
　　∴△ADE∽△ABD，
　　同理：△ADE∽△ACD，
　　∵∠MDN=∠C=∠B，
　　∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
　　∠B=∠MDN，
　　∴∠BAD=∠EDC，
　　∵∠B=∠C，
　　∴△ABD∽△DCE，
　　∴△ADE∽△DCE，
　　（2）△BDF∽△CED∽△DEF，
　　证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
　　∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
　　∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
　　由AB=AC，得∠B=∠C，
　　∴△BDF∽△CED，
　　∴BD /DF=EC/DE ．
　　∵BD=CD，
　　∴CD/DF=EC/DE ．
　　∵∠C=∠EDF，
　　∴△BDF∽△CED∽△DEF．
　　（3）连接AD，过D点作DG⊥EF、DH⊥BF，垂足为G、H．
　　∵AB=AC，D是BC的中点，
　　∴AD⊥BC，BD=1/2，BC=6．
　　在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，
　　∴AD=8
　　∴S△ABC=1/2
　　BC•AD=1/2 ×12×8=48．
　　S△DEF=1/4S△ABC=1/4 ×48=12．
　　∵1/2AD*BD=1/2 AB*DH，
　　∴DH=AD•BD /AB =8×6 /10 =24/5 ，
　　∵△BDF∽△DEF，
　　∴∠DFB=∠EFD
　　∵DG⊥EF，DH⊥BF，
　　∴DH=DG=24 /5
　　∵S△DEF=1/2×EF×DG=12，
　　∴EF=12/(1/2DG ) =5．

Answer 5

∵AB=AC，D为BC的中点，
　　∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
　　又∵∠MDN=∠B，
　　∴△ADE∽△ABD，
　　同理：△ADE∽△ACD，
　　∵∠MDN=∠C=∠B，
　　∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
　　∠B=∠MDN，
　　∴∠BAD=∠EDC，
　　∵∠B=∠C，
　　∴△ABD∽△DCE，
　　∴△ADE∽△DCE，
　　
　 （2）∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°
　　∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
　　又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，
　　∵AB=AC，得∠B=∠C，
　　∴△BDF∽△CED，
　　∴BD /DF=EC/DE ．
　　∵BD=CD，
　　∴CD/DF=EC/DE ．
　　又∵∠C=∠EDF，
　　∴△BDF∽△CED∽△DEF．
　　（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
　　∵AB=AC，D是BC的中点，
　　∴AD⊥BC，BD=1/2
　　BC=6．
　　在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，
　　∴AD=8
　　∴S△ABC=1/2
　　BC•AD=1/2 ×12×8=48．
　　S△DEF=1/4S△ABC=1/4 ×48=12．
　　又∵
　　1/2AD*BD=1/2 AB*DH，
　　∴DH=AD•BD /AB =8×6 /10 =24/5 ，
　　∵△BDF∽△DEF，
　　∴∠DFB=∠EFD
　　∵DG⊥EF，DH⊥BF，
　　∴DH=DG=24 /5
　　∵S△DEF=1/2×EF×DG=12，
　　∴EF=12/(1/2DG ) =5．