二次函数y=（-1/2）X2+c的图像经过D（-根号3，9/2),与x轴交于A、B两点。（1）如图，设点C为该二次函数的图 40
解：（1）设BD与AC交于点E,作BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N,
½AC·BM+½AC·DN
BM=DN
∴易证⊿BME≌⊿DNE
∴BE=DE
∴ 线段BD被直线AC平分.
把D(-√3,9/2)代入y=-½ X²+c得c=6
∴二次函数为y=-½ X²+6
当y=0时，x=±2√3
∴A(-2√3,0),B(2√3,0)
∵ BE=DE
∴E(√3/2,9/4)
设AC为y=kx+b,把A(-2√3,0),E(√3/2,9/4)代入得y=3√3/10*x+9/5
（2）存在。如Q(4√3/3,10/3)，∠QAB=30°，AP是∠QAB的平分线时，⊿AQP≌⊿ABP
为什么∴E(√3/2,9/4)？？？？？？？？？
（1）过点D、点B分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，
∵AC将四边形ABCD的面积二等分，
即S△ABC=S△ADC，∴DE=BF。
又∵∠DME=∠BMF,∠DEM=∠BFE,
∴△DEM≌△BFM，∴DM=BM，即AC平分BD.
∵c=6，抛物线为y=-½x²+6.，
∴其与x轴交点A（-2√3，0）、B（2√3，0） （“√”为根号）
∵M是BD的中点，∴M （√3/2，9/4）.
设AC的解析式为y=kx+b，经过A，M点，
∴{2√3k+b=0
{√3/2k+b=9/4, 得k=3√3/10,b=9/5.
∴直线AC的解析式为y=3√3/10 x+9/5.
（2）存在.设抛物线顶点为N(0，6），在Rt△AON中，易得AN=4√3，于是以A点为圆心，
AB=4√3为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线
于P，连接BP，PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP
解答：解：（1）连接AC，过点C作CH⊥AB，垂直为H，
由垂径定理得：AH=AB=2，
则OH=1，
由勾股定理得：CH=4．
又点C在x轴的上方，
∴点C的坐标为（1，4）．
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意，得，
解这个方程组，得，
∴这二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．
（3）①当四边形APBM是平行四边形时，过点M作MK⊥x轴，
∴PA=BM，∠AOP=∠BKM=90°，∠OAP=∠KBM，
∴△AOP≌△BKM，
则BK=OA=1，则点M的横坐标为2，
∴y=-4+4+3=3，
∴此时点M的坐标为（2，3）；
②∵当PM∥AB，PM=AB时，四边形APMB是平行四边形，
则设M的坐标为（4，y），则可得y=-16+8+3=-5，
则此时点M的坐标为（4，-5）；
③当四边形ABPM是平行四边形时，
设点M的坐标为（-4，y），
则可得y=-16-8+3=-21，
则此时点M的坐标为（-4，-21）．
∴点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．
参考资料： http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/acb66977-6c2a-40ce-97c8-37a6fae88c8f
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