Question

已知不等式（m²+4m-5）x²-4(m-1)x+3>0对于一切实数x恒成立，求实数m的取值范围

请写出答案与解题思路，谢谢！！

Answer 1

（m²+4m-5）x²-4(m-1)x+3>0对于一切实数x恒成立

m=1时，原式 = 3 ＞ 0，恒成立

m=-5时，原式 = 24x+3，x＜-1/8时原式不成立

m≠-5且m≠1时，函数f(x) = (m²+4m-5)x²-4(m-1)x+3 必须开口向上，并且与x轴无交点
所以，m²+4m-5＞0，并且判别式△=[-4(m-1)]²-4*(m²+4m-5)*3 ＜0
即：(m+5)(m-1)＞0，并且4{4(m-1)²-3*(m²+4m-5)] = 4{m²-20m+19} = 4(m-1)(m-19)＜0
即：m＜-5或m＞1，并且1＜m＜19
即1＜m＜9

综上：1≤m＜19

Answer 2

（m²+4m-5）x²-4(m-1)x+3>0
原式可化为：
(m-1)(m+5)x²-4(m-1)x+3>0
(1)
当m=1时，原式为：
3>0恒成立！
当m≠0时，
根据题意：
{(m-1)(m+5)>0
{Δ<0
,,,,,,,,,,,,
{m>1,或m<-5
{16(m-1)²-12(m-1)(m+5)<0
,,,,,,,,,,,,
{m>1,或m<-5
{(m-1)(m-19)<0
==>
1<m<19
综合可知；
1≤m<19

Answer 3

（1）m=1 不等式（m²+4m-5）x²-4(m-1)x+3>0变为 3>0 对于一切实数x恒成立，
（2）m≠1或m≠-5
m²+4m-5>0
判别式=16m^2-32m+16-12m^2-48m+60
=4m^2-80m+76<0
m^2-20m+19<0
1<m<19
由（1）（2）可知
实数m的取值范围 1<=m<19

Answer 4

原式可化为：
(m-1)(m+5)x²-4(m-1)x+3>0
(1)
当m=1时，原式为：
3>0恒成立！
当m≠0时，
根据题意：
(m-1)(m+5)>0
Δ<0
m>1,或m<-5
16(m-1)²-12(m-1)(m+5)<0
m>1,或m<-5
(m-1)(m-19)<0
1<m<19
综合可知；
1≤m<19

Answer 5

解： 根据不等式（省略）可知
m^2+4m-5>0
16(m-1)^2-12(m^2+4m-5)>0
（上面两不等式要用大括号，因为是两个不等式都要同时成立的）
（由上面等式退出）
(m-5)(m+1)>0
(m-19)(m-1)>0
(同样要用大括号)
可得：m<-1或m>19
所以 实数m的取值范围是（19，+∞）或（-∞，-1）。

Answer 6

此为一元二次函数，一切实数大于0，则函数图象向上开口，即m2+4m-5>0导出m>1或m<-5(向下开口当趋于无穷时为负小于零）。然后保证-4（m-1)的平方-4*（m2+4m-5)*3小于0，即使方程无实根.求出1<m<19.
当为一次函数时，即m2+4m-5=0即m=1或5.1时成立，5不行。
综上取交集1<=m<19