Question

点D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点

点D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F，且BC=2。1、当CD根号2时，求AE;2、当CD=2(根号2-1）时，试证明四边形AEDF是菱形。
这是图

Answer 1

解：1、∵EF垂直平分AD
∴AE=DE
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90º
∴CD²+CE²=DE²=AE²，AC=BC
我们可由图的：AC=AE+EC
∴AE²=CD²+(2-AE)²
代入数字得：2*2AE=(√2)²+2²
AE=1.5，CE=2-1.5=0.5

2、证明：过D作DG⊥AB交AB于G
∵CD=2（√2-1）
∴BD=BC-CD=2-2（√2-1）=4-2√2
又∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90º
∴∠B=45º
∴DG=BD/√2=2√2-2=2（√2-1）=CD
∴△ACD≌△AGD(HL)
∴∠CAD=∠GAD
即：AD为∠CAB的角平分线
又∵EF垂直平分AD
∴AD垂直平分EF
∴四边形AEDF是菱形

Answer 2

1、设CE=X,在△CED中
X^2+(根号2）^2=(2-X)^2
CE=0.5
AE=1.5
2、CD是多少？

追问

CD是2（√2-1）
第二题会吗

追答

过D作DG⊥AB交AB于G
CD=2（√2-1）
所以BD=BC-CD=2-2（√2-1）=4-2√2
又∠C=90º
∠B=45º
所以DG=BD/√2=2√2-2=2（√2-1）=CD
△ACD和△AGD全等
所以∠CAD=∠GAD
即：AD为∠CAB的角平分线
EF垂直平分AD
AD垂直平分EF
所以四边形AEDF是菱形

Answer 3

(1)AE=1.5，过程如下：

（2）证明：