Question

已知抛物线y=-x^2+bx+c经过点A（1，0），B（-3，0）亮点，且与y轴交于点C

点E是线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF的面积取得最小值是，求点E的坐标。

Answer 1

把点A（1，0），B（-3，0）代入抛物线y=-x^2+bx+c中，得：c=3
∴C(0,3)
B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F
在RT△EBF中，外心即圆心必然落在斜边EF上
又在△EOF中，外心落在EF上，∴EO⊥FO
∴∠BOF+∠BOE=90°
又∠COE+∠BOE=90°
∴∠BOF=∠COE
又∠OBF=∠OCE=45°，OB=OC=3
∴△BOF≌△COE
∴OF=OE
∴S△OEF=OE^2/2
当△OEF的面积取得最小值,即OE取得最小值，OE⊥BC
此时，E(-3/2,3/2)