Question

已知向量a=(cosax,根号3cosax),b=(sinax,cosax),(其中0＜a≦1)，记f(x)=a*b-根号3/2，且满足f(x+π)=f(x).

(1) 求函数y=f(x)的解析式；
(2) 求函数y=f(x)在π/4处的切线方程；
(3) 如果过于x的方程3【f(x)】2+mf(x)-1=0在【-π/12，5π/12】上有三个不相等的实根，求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）因f(x)=cosaxsinax+√3(cosax)^2-√3/2
=1/2(2cosaxsinax)+√3/2[2(cosax)^2-1]
=1/2sin2ax+√3/2cos2ax
=cosπ/3sin2ax+sinπ/3cos2ax
=sin(2ax+π/3)
又f(x+π)=f(x)，则最小正周期T0=π，即有2a=2π/π，即a=1
所以f(x)=sin(2x+π/3)

（2）因f'(x)=2cos(2x+π/3)，则f'(π/4)=2cos(2π/4+π/3)=-√3
而f(π/4)=sin(2π/4+π/3)=1/2
于是过点(π/4，1/2)且斜率为-√3的切线方程为：y-1/2=-√3(x-π/4)

（3）当-π/12≤x≤5π/12，则有π/6≤2x+π/3≤7π/6
于是-1/2≤sin(2x+π/3)≤1
即-1/2≤f(x)≤1
因关于x的方程有三个不相等的实根，则关于f(x)的方程必有两个异根（令两根f(x)1<f(x)2），而且满足：-1/2≤f(x)1<1/2且1/2≤f(x)2<1
解关于f(x)的方程得：f(x)1=[-m-√(m^2+12)]/6，f(x)2=[-m+√(m^2+12)]/6
则有：-1/2≤[-m-√(m^2+12)]/6<1/2
1/2≤[-m+√(m^2+12)]/6<1
解上述两个关于m的不等式可得其取值范围（-2，-1/2]