Question

如图,AB是⊙O的直径,P是弦AC延长线上的一点,且AC=PC,直线PB交⊙O于点D。

如图,AB是圆O的直径,P是弦AC延长线上的一点,且AC=PC,直线PB交圆O于点D。
（1）求证：CP=CD
（2）若圆O的直径是2，角A=30°，求图中阴影部分的面积
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要详细过程，有些符号被屏蔽，请用文字表达

Answer 1

1、证明：
因为直径AB
所以角ACB＝90
所以BC垂直AP
因为AC＝PC
所以BC垂直平分AP
所以AB＝PB
所以角A＝角P
因为角A、角D所对应的圆弧都为劣弧BC
所以角A＝角D
所以角D＝角P
所以CP＝CD
2、解：
因为AB＝2,角A＝30
所以BC＝1,AC＝√3
所以AP＝2AC＝2√3
所以S△ABP＝BC×AP/2＝1×2√3/2＝√3
因为AO＝BO、AC＝PC
所以OC是三角形ABP的中位线
所以S△AOC/S△ABP＝（1/2）²＝1/4
所以S△AOC＝√3/4
因为角BOC＝2角A＝60
S扇形BOC＝S圆×60/360＝π×1²/6＝π/6
S阴＝S△ABP-S△AOC-S扇形BOC
＝√3-√3/4-π/6
＝3√3/4-π/6

Answer 2

⑴连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AP，
∵AC=CP，∴BC垂直平分AP，∴AB=PB，
∴∠A=∠P，∵∠A=∠D，
∴∠P=∠D，∴CD=CP。
⑵在RTΔABC中，∠A=30°，
∴BC=1/2AB=2，AC=2√3，
∴SΔPBC=SΔABC=1/2*AC*BC=2√3，
连接OC，∠BOC=2∠A=60°，
∴ΔOBC是等边三角形，
则SΔOBC=√3/4*OC^2=√3，
S扇形OBC=1/6S⊙=2π/3，
∴S弓形=S扇形OBC-SΔOBC=2π/3-√3，
∴S阴影=SΔPBC-S弓形=2√3-(2π/3-√3)
=3√3-2π/3。

Answer 3

连接BC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°即BC⊥CP
在△ABC和△PBC中
AC=CP，BC=BC，∠ACB=∠PCB=90°
∴△ABC≌△PBC
∴∠P=∠A
∵∠D=∠A
∴∠D=∠P(△PCD是等腰三角形）
∴CD=CP
2、∵△ABC是Rt△，∠A=30°
∴BC=1/2AB=1/2×2=1
AC=√(AB²-BC²)=√(2²-1²)=√3
∵△ABC≌△PBC(已经证明）
∴S△PBC=S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×√3×1=√3/2
连接OC
∴∠BOC=2∠A=60°
∵OB=OC=1/2AB=1
∴△BOC是等边三角形
∴S△BOC=1/2BC×OB×sin60°=1/2×1×1×√3/2=√3/4
∵S扇形BOC=OB²×3.14×60/360=1²×3.14×1/6≈0.523
∴S弓形BC=S扇形BOC-S△BOC=0.523-√3/4
∴S阴影=S△PBC-S弓形BC=√3/2-0.523+√3/4=3√3/4-0.523≈1.299-0.523=0.776
【或=（3√3/4）-（π/6）】

Answer 4

1.
BC垂直平分AP， 所以 三角形BAP等腰， 于是角D=角A=角P ==》 CD=CP
2.
CB= 1/2AB=1， AC=根3，角BOC=60度
阴影部分的面积 = 三角形BAP面积 - 扇形OBCP面积 - 三角形OACP面积

= 2×三角形BAC面积 - 圆面积/6 - 1/2×三角形BAC面积
= 3/2×三角形BAC面积 - 圆面积/6
= 3/2 × 1/2×1×根3- pi * 1^2 /6
=3根3/4- pi/6