Question

数学分析证明题：求证有界数列的所有收敛子列的极限中一定有最大值和最小值。我不会证，哪位大侠帮帮忙！

如题
一道数学分析的证明题，求证有界数列的所有收敛子列的极限中一定有最大值和最小值
请各位数学大神们帮帮忙吧！！！

Answer 1

buhui

Answer 2

4

Answer 3

证法如下：
设子数列{an}收敛于A（由于数列有界，故子数列{an}也有界，即-∞<A<∞），用ε-N表示法应为：任意ε>0，存在N0∈N，任意n>N0，|an-A|<ε.
则{an}前N0项为有限项，必有最大值和最小值，记为M1，m1。
{an}的N0项以后，以最大值为例。
假设{an}第N0项以后没有最大值，即存在n1>N0,存在δ>0,an1-A>δ；同样的，由于an1不是最大值，必存在n2>N0，使得an2-an1>δ；。。。;存在nk>N0，使得ank-an(k-1)>δ。累加，得到ank-A>k*δ。
又ank<A+ε0（注：当N0确定时，ε的最大值也已确定，记为ε0）。即A+kδ<ank<A+ε0，即k<ε0/δ。但k可以取任意大的正整数，那我们取k=[ε0/δ]+1,（[ ]表示取整），则推出矛盾。故{an}第N0项以后也必有最大值。最小值同理。记为M2，m2。
然后就很简单了。M=max（M1，M2），m=min（m1，m2）。
证毕。

追问

大侠，你貌似看错题目了
求证有界数列的所有收敛子列的“极限” 中一定有最大值和最小值。

您貌似把“极限”两个字看漏了吧。
一个有界数列可能有多个收敛子列，这些收敛子列的极限分别是a1,a2,a3.......
求证a1,a2,a3,.......中有最大值和最小值

不好意思又要麻烦你,^-^

追答

汗。。。还有，我仔细想了一下，我上面的命题是错的当然证明更加错的一塌糊涂要教坏小盆友的啦请无视。。。
此题证法如下：
将{an}的子列分为{an1}{an2}。。。{ank}。。。，他们的极限分别是A1，A2，。。。Ak。。。，并且A1<=A2<=...<=Ak<=...。将{Ak}视为一个新数列，易知其单增且有界（由于原数列有界）。又根据”单调有界数列必收敛“（这个你们上课应该讲过吧，也很好证的，好像是反证法可以证）.
设{Ak}收敛于A0.故k足够大时，|Ak-A0|<ε;又k足够大时，nk也足够大，此时根据极限定义|ank-Ak|<ε；两个不等式相加，|Ak-A0|+|ank-Ak|<2ε，再用绝对值不等式得到|ank-A0|<2ε,故{ank}的极限也是A0。又{ank}极限是Ak，故Ak=A0（k足够大）。易知Ak=A(k+1)=A(K+2)=。。。=A0。又由于{Ak}单调增，故{Ak}最大值就是A0。最小值同理。证毕。
具体的数学语言自己写吧，打出那群希腊字母实在太累人了。O(∩_∩)O