Question

高中数学问题：已知点O为△ABC中的一点，且向量OA＋2向量OB＋3向量OC＝向量0，求△ABC、△AOC、△BOC的...

高中数学问题：已知点O为△ABC中的一点，且向量OA＋2向量OB＋3向量OC＝向量0，求△ABC、△AOC、△BOC的面积比。求详解，谢谢！

Answer 1

解：延长OB至B',使OB'=2OB;延长OC至C',使OC'=3OC;
连结B'C',取B'C'中点D,连结OD并延长至A',使DA'=OD;
连结B'A',C'A',则四边形OB'A'C'为平行四边形
∴2向量OB+3向量OC=向量OB'+向量OC'=向量OA'
又∵向量OA+2向量OB+3向量OC=0
即向量OA+向量OA'=0, ∴向量AO=向量OA’
所以A,O,A'三点共线，且|AO|=|OA'|
利用同底等高三角形面积相等得:
S△AOC=S△A'OC=S△OCB'=2S△BOC===>S△AOC/S△BOC=2/1

Answer 2

题目是△AOB、△AOC、△BOC的面积比吧?
以A为原点,AB为x轴,建立直角坐标系,设点C的纵坐标为c,点O的纵坐标为t,下面只考虑向量OA＋2向量OB＋3向量OC＝向量0两边的纵坐标,有-t+2(-t)+3(c-t)=0,即c=2t,故△AOB与△ABC的面积之比为t/c=1/2.
同理,有△AOC与△ABC的面积之比为1/3.
△BOC与△ABC的面积之比为1/6,
所以△AOB、△AOC、△BOC的面积比为3:2:1

Answer 3

延长OB至B',使OB'=2OB;延长OC至C',使OC'=3OC;
连结B'C',取B'C'中点D,连结OD并延长至A',使DA'=OD;
连结B'A',C'A',则四边形OB'A'C'为平行四边形
∴2向量OB+3向量OC=向量OB'+向量OC'=向量 ∴向量AO=向量OA’
所以A,O,A'三点共线，且|AO|=|OA'|
利用同底等高三角形面积相等得:
S△AOC=S△A'OC=S△OCB'=2S△BOC===>S△AOC/S△BOC=2/1
等等~~~~~

Answer 4

建立直角坐标系，A(0,0),B(1,0),C(0,1).设O（x,y）则有（x,y)+2(x-1,y)+3(x,y-1)=0.从而有x+2x-2+3x=0,y+2y+3y-3=0,得到x=1/3,y=1/2,利用坐标算出三角形面积即可得到△ABC、△AOC、△BOC的面积比为6:2:1