Question

已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1-x），（a＞0，且a≠1）

1、求函数f（x）-g（x）定义域；判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明
2、求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围

Answer 1

1.1+x>0且1-x>0 所以定义域为 -1<x<1,
记F(x)=f(x)-g(x), F(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=loga(1-x)/(1+x)=loga[(1+x)/(1-x)]^(-1)=-loga(1+x)/(1-x)=-loga(1+x)+loga(1-x)=-[f(x)-g(x)]=-F(x), 是奇函数
2.f(x)-g(x)>0, loga(1+x)>loga(1-x)
当a>1时, 1+x>1-x且-1<x<1 得0<x<1,
当0<a<1时, 1+x<1-x且-1<x<1, 得-1<x<0

Answer 2

1、1+x>0
1-x>0
解得-1<x<1
f（x）-g（x）定义域是(-1,1)
对任意x属于(-1,1)
令h(x)=f（x）-g（x）
h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)－loga(1+x)=g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))=-h(x)
所以h(x)=f（x）-g（x）是奇函数
2、
(x)-g(x)>0, loga(1+x)>loga(1-x)
当a>1时, 1+x>1-x且-1<x<1 得0<x<1,
当0<a<1时, 1+x<1-x且-1<x<1, 得-1<x<0

Answer 3

解：（1）
1）、 定义域为： ；
2）、 ，所以函数为奇函数；
（2）
当 时， （舍去）或 （舍去）
当 时，
所以：